Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE．AC和BE相交于點O．

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；

（2）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QR⊥BD，垂足為點R．

①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發生變化．若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；

②當線段PB的長為何值時，△PQR與△BOC相似．

Answer 1

【答案】（1）菱形，證明見解析；（2）①不變，24；②PB=．

【解析】

解：（1）四邊形ABCE是菱形．

∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，

∴EC∥AB，且EC=AB，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

又∵AB=BC，

∴四邊形ABCE是菱形；

（2）①四邊形PQED的面積不發生變化．

方法一：∵ABCE是菱形，

∴AC⊥BE，OC=AC=3，

∵BC=5，

∴BO=4，

過A作AH⊥BD于H，（如圖1）

∵，

即，

解得AH=．

或∵∠AHC=∠BOC=90°，∠BCA=∠BCA，

∴△AHC∽△BOC，

∴AH：BO=AC：BC，

即AH：4=6：5，

∴AH=．

由菱形的對稱性知，△PBO≌△QEO，

∴BP=QE，

∴

方法二：由菱形的對稱性知，△PBO≌△QEO，

∴，

∵△ECD是由△ABC平移得到的，

∴ED∥AC，ED=AC=6，

又∵BE⊥AC，

∴BE⊥ED，

∴

=24

②方法一：如圖2，

當點P在BC上運動，使△PQR與△COB相似時，

∵∠2是△OBP的外角，

∴∠2＞∠3，

∴∠2不與∠3對應，

∴∠2與∠1對應，

即∠2=∠1，

∴OP=OC=3

過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點，

∴△OGC∽△BOC，

∴CG：CO=CO：BC，

即CG：3=3：5，

∴CG=，

∴．

方法二：如圖3，

當點P在BC上運動，使△PQR與△COB相似時，

∵∠2是△OBP的外角，

∴∠2＞∠3，

∴∠2不與∠3對應，

∴∠2與∠1對應，

∴QR：BO=PR：OC

即：4=PR：3，

∴PR=，

過E作EF⊥BD于F，設PB=x，則RF=QE=PB=x，

DF=，

∴BD=PB+PR+RF+DF=，

解得x=．

方法三：如圖4，

若點P在BC上運動，使點R與C重合，

由菱形的對稱性知，O為PQ的中點，

∴CO是Rt△PCQ斜邊上的中線，

∴CO=PO，

∴∠OPC=∠OCP，

此時，Rt△PQR∽Rt△CBO，

∴PR：CO=PQ：BC，

即PR：3=6：5，

∴PR=

∴PB=BC﹣PR=．