Question

【題目】在正方形ABCD中，點M是射線BC上一點，點N是CD延長線上一點，且BM=DN．直線BD與MN相交于E．

（1）如圖1，當點M在BC上時，求證：BD－2DE=BM；

（2）如圖2，當點M在BC延長線上時，BD、DE、BM之間滿足的關系式是什么？；

（3）在（2）的條件下，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若DE=，且AF：FD=1：2時，求線段DG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）BD+2DE=BM；（3）．

【解析】

試題（1）過點M作MF⊥BC交BD于點F，推出FM=DN，根據AAS證△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根據正方形的性質和勾股定理求出即可；

（2）過點M作MF⊥BC交BD于點F，推出FM=DN，根據AAS證△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根據正方形的性質和勾股定理求出即可；

（3）根據已知求出CM的長，證△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD長，求出FM長即可．

試題解析：（1）過點M作MF⊥BC交BD于點F，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C=90°，∴FM∥CD，∴∠NDE=∠MFE，∴FM=BM，∵BM=DN，∴FM=DN，在△EFM和△EDN中，∵∠NDE=∠MFE，∠NED=∠MEF，DN=FM，∴△EFM≌△EDN，∴EF=ED，∴BD﹣2DE=BF，根據勾股定理得：BF=BM，即BD﹣2DE=BM；

（2）過點M作MF⊥BC交BD于點F，與（1）證法類似：BD+2DE=BF=BM，故答案為：BD+2DE=BM；

（3）由（2）知，BD+2DE=BM，BD=BC，∵DE=，∴CM=2，∵AB∥CD，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD=AB：ND，∵AF：FD=1：2，∴AB：ND=1：2，∴CD：ND=1：2，CD：（CD+2）=1：2，∴CD=2，∴FD=，∴FD：BM=1：3，∴DG：BG=1：3，∴DG=．