Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC＝30°，∠APB＝60°．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

試題（1）連接OB，證PB⊥OB．根據四邊形的內角和為360°，結合已知條件可得∠OBP=90°得證；

（2）連接OP，根據切線長定理得直角三角形，根據含30度角的直角三角形的性質即可求得結果。

（1）連接OB．

∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．

∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．

∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，

∴∠OAP=90°．

∵四邊形的內角和為360°，

∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．

∴OB⊥PB．

又∵點B是⊙O上的一點，

∴PB是⊙O的切線．

（2）連接OP，

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，

∴OP=2OA=2×2=4．

∴PA=OP2-OA2=2

∵PA=PB，∠APB=60°，

∴PA=PB=AB=2。