Question

【題目】如圖，已知點，二次函數的對稱軸為直線，其圖象過點與軸交于另一點，與軸交于點.

（1）求二次函數的解析式，寫出頂點坐標；

（2）動點同時從點出發，均以每秒2個單位長度的速度分別沿的邊上運動，設其運動的時間為秒，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．連結，將沿翻折，若點恰好落在拋物線弧上的處，試求的值及點的坐標；

（3）在（2）的條件下，Q為BN的中點，試探究坐標軸上是否存在點，使得以為頂點的三角形與相似？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1），頂點坐標為；（2）， ；（3）存在， ， ， .

【解析】（1）由拋物線對稱軸為-1，并過點A(3,0)可求出a、b,從而求出拋物線解析式和頂點坐標.

(2)由A,B,C坐標可得出∠CBA=60°再由BM=BN推出△MBN是正三角形,翻折后△BMN≌ 推出M∥MB從而得到（1-3t, t）,把代入即可求解。

（3）分兩種情況討論點P的存在性，即點P在x軸上；和點P在y軸上.

解:(1)由題意得， ，解得：

二次函數的解析式為

,其頂點坐標為.

(2)由題意知， ,

又 ,△是正三角形. .

將沿翻折后， ,

.

若點在拋物線上，則有

化簡得： ， .

此時， ， .

（3）由題意可得為直角三角形，

且又.

分二種情況討論：

1),當在軸上時，過作軸于,則,此時; 過作軸于,則,此時; 在軸上其他位置時，三角形不為直角三角形，不可能與相似.

2),同理，當點在y軸上時,設軸于，則，此時;過作交y軸于,但則不相似， 在軸上其他位置時，三角形不為直角三角形，不可能與相似.