Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點(點M不與B、C重合)，過點C作CN垂直DM交AB于點N，連結OM、ON、MN.下列五個結論：①△CNB≌△DMC；②；③ON⊥OM；④若AB＝2，則的最小值是1；⑤.其中正確結論是_________.(只填番號)

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】根據正方形的性質，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，根據全等三角形的性質以及勾股定理進行計算即可得出結論．

∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正確；

根據△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，故②正確；

∵△OCM≌△OBN

∴∠COM=∠BON

∴∠COM+∠BOM=∠BON+∠BOM=90°

∴ON⊥OM

故③正確；

∵△OCM≌△OBN，
∴四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1，即四邊形BMON的面積是定值1，
∴當△MNB的面積最大時，△MNO的面積最小，
設BN=x=CM，則BM=2-x，
∴△MNB的面積=x（2-x）=-x2+x，
∴當x=1時，△MNB的面積有最大值，
此時S△OMN的最小值是1-=，故④不正確；

∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，
∴AN2+CM2=MN2，故⑤正確；