Question

【題目】已知：如圖1，點A、O、B依次在直線MN上，現將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉，同時射線OB繞點O沿逆時針方向以每秒4°的速度旋轉，如圖2，設旋轉時間為t（0秒≤t≤90秒）．

（1）用含t的代數式表示∠MOA的度數．

（2）在運動過程中，當∠AOB第二次達到60°時，求t的值．

（3）在旋轉過程中是否存在這樣的t，使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角（指大于0°而不超過180°的角）的平分線？如果存在，請直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠MOA=2t，（2）t=40秒時，∠AOB第二次達到60°；（3）當t的值分別為18、22.5、36、60、67.5秒時，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．

【解析】

試題分析：（1）∠AOM的度數等于OA旋轉速度乘以旋轉時間；

（2）當∠AOB第二次達到60°時，射線OB在OA的左側，根據∠AOM+∠BON﹣∠MON=60°列方程求解可得；

（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有三種情況：

①OB兩次平分∠AOM時，根據∠AOM=∠BOM，列方程求解，

②OB兩次平分∠MON時，根據∠BOM=∠MON，列方程求解，

③OB平分∠AON時，根據∠BON=∠AON，列方程求解．

解：（1）∠MOA=2t，

（2）如圖，

根據題意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，

當∠AOB第二次達到60°時，∠AOM+∠BON﹣∠MON=60°，

即2t+4t﹣180=60，解得：t=40，

故t=40秒時，∠AOB第二次達到60°；

（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有以下三種情況：

①OB平分∠AOM時，∵∠AOM=∠BOM，

∴t=180﹣4t，或t=4t﹣180，

解得：t=36或t=60；

②OB平分∠MON時，∵∠BOM=∠MON，即∠BOM=90°，

∴4t=90，或4t﹣180=90，

解得：t=22.5，或t=67.5；

③OB平分∠AON時，∵∠BON=∠AON，

∴4t=（180﹣2t），或180﹣（4t﹣180）=（180﹣2t），

解得：t=18或t=90（不符合題意，舍去）；

綜上，當t的值分別為18、22.5、36、60、67.5秒時，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．