Question

【題目】在菱形ABCD中，點P是BC邊上一點，連接AP，點E，F是AP上的兩點，連接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．

求證：（1）△ABF≌△DAE；

（2）DE＝BF+EF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）根據菱形的性質得到AB=AD，AD∥BC，由平行線的性質得到∠BPA=∠DAE，等量代換得到∠BAF=∠ADE，求得∠ABF=∠DAE，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到AE=BF，DE=AF，根據線段的和差即可得到結論

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，AD∥BC，

∴∠BPA＝∠DAE，

∵∠ABC＝∠AED，

∴∠BAF＝∠ADE，

∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，

∴∠ABF＝∠DAE，

∵AB＝DA，

∴△ABF≌△DAE（ASA）；

（2）∵△ABF≌△DAE，

∴AE＝BF，DE＝AF，

∵AF＝AE+EF＝BF+EF，

∴DE＝BF+EF．