Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點F，交⊙O于點E，連接CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC．

（1）求證：直線CD為⊙O的切線；

（2）若AB＝10，BC＝8，則線段CD的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

(1)利用圓周角定理結合等腰三角形的性質得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；

(2)利用圓周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定與性質得出DC的長．

(1)證明：連接OC，

∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，

∴∠CBA=∠ODC，

又∵∠CFD=∠BFO=90，

∴∠DCB=∠BOF，

∵CO=BO，

∴∠OCF=∠B，

∵∠B+∠BOF=90°，

∴∠OCF+∠DCB=90°，

∴直線CD為⊙O的切線；

(2)解：連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠DCO=∠ACB=90°，

又∵∠D=∠B

∴△OCD∽△ACB，

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，

∴AC=6，

∴，即，

解得；DC=，

故答案為：．