Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為1，點P為正方形內一動點，若點M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點N，連結CM．

（1）如圖一，若點M在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM=AN；

（2）①如圖二，在點P運動過程中，滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需說明理由）

②是否存在滿足條件的點P，使得PC=？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①仍然成立；②不存在．

【解析】

試題分析：（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可證明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出，由△BAP∽△BNA，推出，得到，由此即可證明．

（2）①結論仍然成立，證明方法類似（1）．②這樣的點P不存在．利用反證法證明．假設PC=，推出矛盾即可．

試題解析：（1）證明：如圖一中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，∴，∴，∵AB=BC，∴AN=AM．

（2）解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．

理由如圖二中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，∴，∴，∵AB=BC，∴AN=AM．

②這樣的點P不存在．

理由：假設PC=，如圖三中，以點C為圓心為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓，CO==＞1+，∴兩個圓外離，∴∠APB＜90°，這與AP⊥PB矛盾，∴假設不可能成立，∴滿足PC=的點P不存在．