Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為5，PA是⊙O的一條切線，切點為A，連接PO并延長，交⊙O于點B，過點A作AC⊥PB交⊙O于點C、交PB于點D，連接BC，當∠P=30°時，

（1）求弦AC的長；

（2）求證：BC∥PA．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）連接OA，由于PA是⊙O的切線，從而可求出∠AOD=60°，由垂徑定理可知：AD=DC，由銳角三角函數即可求出AC的長度．

（2）由于∠AOP=60°，所以∠BOA=120°，從而由圓周角定理即可求出∠BCA=60°，從而可證明BC∥PA

試題解析：（1）連接OA，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°．

∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB過圓心O，∴AD=DC．

在Rt△ODA中，AD=OAsin60°=，∴AC=2AD=；

（2）∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°，∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA，∴BC∥PA．