Question

【題目】【問題發現】

（1）如圖（1），四邊形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，則線段BD，AC的位置關系為__________；

【拓展探究】

（2）如圖（2），在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，FE，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；

【解決問題】

（3）如圖（3），在正方形ABCD中，AB=2，以點A為旋轉中心將正方形ABCD旋轉60°，得到正方形AB'C'D'，請直接寫出BD'平方的值．

Answer 1

【答案】（1）AC垂直平分BD（2）四邊形FMAN是矩形（3）BD′的平方為16+8或16–8

【解析】試題分析：（1）根據AB=AD、CB=CD可知點A、C在線段BD的垂直平分線上，從而可得；

（2）連接AF，判斷出DF是AB的垂直平分線，從而可得∠FMA＝90，同理可得∠FNA＝90，再根據∠MAN＝90，即可判斷出四邊形FMAN為矩形；

（3）分逆時針旋轉與順時針旋轉兩種情況分別討論即可得.

試題解析：（1）∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∵點A、點C是不同的點，

∴AC⊥BD，

故答案為：垂直；

（2）猜想：四邊形FMAN是矩形，理由如下：

連接AF，在Rt△ABC中，∵點F為BC的中點，

AF＝BF，

在等腰三角形ADB中，AD＝BD，

FD垂直平分AB，∠FMA＝90，

同理可得∠FNA＝90，又∵∠MAN＝90，

四邊形FMAN為矩形；

（3）當逆時針旋轉60度時，如圖，過點D′作D′⊥AB，交BA延長線于點E，

則有∠D′AE=30°，∴D′E=AD′=1，AE=，

∴BE=，∴BD′2=BE2+ED′2=（）2+12=8+4；

當順時針旋轉60度時，如圖，過點D′作D′⊥AB，交BA于點E，

則有∠D′AE=30°，∴D′E=AD′=1，AE=，

∴BE=，∴BD′2=BE2+ED′2=（）2+12=8-4，

綜上，BD′2的值為8+4或8-4.