Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，BC=2

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，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC、AD于點(diǎn)F、E．
（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為90°時(shí)，四邊形ABFE是平行四邊形．
（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總是保持相等．
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，說明理由，并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角可得∠AOE=90°，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AB∥EF，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得AE∥BF，然后根據(jù)平行的四邊形的定義即可得證；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得AO=CO，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EAO=∠FCO，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CF，從而得到四邊形AECF為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等即可得證；
（3）連接BE、DF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OF，從而得到EF和BD互相平分，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形判斷當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形，再利用勾股定理列式求出AC，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分求出OA=2，然后求出∠AOB=45°，再求出∠AOE=45°，即旋轉(zhuǎn)角為45°．

解答：（1）證明：當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，∠AOE=90°，
∴AB∥EF，
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AE∥BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∠AOE=∠COF AO=CO ∠EAO=∠FCO

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∴AF=CE；

（3）解：四邊形BEDF是菱形．
理由如下：連結(jié)BE、DF，由（2）中可知，△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴EF和BD互相平分，
∴當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形，
在Rt△ABC中，AC=

BC2-AB2

=

(2 5 )2-22

=4，
∴OA=

1

2

AC=2，
又∵AB⊥AC，OA=AB，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOE=45°，
∴AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，四邊形BEDF為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何變換綜合題型，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．