Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為2，O到定點A的距離為5，點B在⊙O上，點P是線段AB的中點．若B在⊙O上運動一周：

（1）證明點P運動的路徑是一個圓．

（思路引導：要證點P運動的路徑是一個圓，只要證點P到定點M的距離等于定長r，由圖中的定點、定長可以發現M、r．）

（2）△ABC始終是一個等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）≤PC≤

【解析】

（1）連接OA、OB，取OA的中點H，連接OB，HP，則HP是△ABO的中位線，HP=OB=1，即可得出結論；
（2）連接AO并延長AO交⊙O于點M、N，由等邊三角形的性質得出PC⊥AB，PA=PB=AB=BC，得出PC= AB，分別求出PC的最小值和最大值，即可得出答案．

（1）證明：連接OA、OB，取OA的中點H，連接OB，HP，如圖1所示：

則HP是△ABO的中位線，HP=OB=1，
∵點O與點A是定點，
∴OA的中點H也是定點，
∴B在⊙O上運動，
則點P隨之運動，但HP=OB=1不變，

∴B在⊙O上運動一周，點P運動的路徑是以點H為圓心，半徑為1的一個圓；
（2）解：連接AO并延長AO交⊙O于點M、N，如圖2所示：
∵△ABC是等邊三角形，點P是線段AB的中點，
∴PC⊥AB，PA=PB=AB=BC，
∴PC=AB，
當點B運動到點M位置時，點P運動到點P'位置，PC最短，
∵AM=OA-OM=5-2=3，
∴AP'=AM=，
∴PC=；
當點B運動到點N位置時，點P運動到點P'位置，PC最長，
∵AN=OA+ON=5+2=7，
∴AP'=，
∴PC= ；
∴PC長的取值范圍是≤PC≤．