Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4 cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿著折線A→B→C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，也以1cm/s的速度沿著折線B→C→D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，E、F兩點(diǎn)間的距離為2cm；

（2）連接DE、AF交于點(diǎn)M，

①在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，CM的最小值為 cm；

②當(dāng)CM＝4 cm時(shí)，此時(shí)t的值為 .

Answer 1

【答案】（1）t1＝2+，t2＝2－； t3＝6+，t4＝6－. （2）① 2－2；② 2或8.

【解析】

（1）分情況討論確定E,F的位置，根據(jù)勾股定理求值；

（2）①根據(jù)題意分析出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最小值；

②求證△DAM≌△CDN，△DAE∽△DMA，分情況討論求解.

（1） 解：當(dāng)E、F兩點(diǎn)分別在AB、BC上時(shí)，

則AE= t，EB=4－t，BF= t

∵EB2＋BF2＝EF2

∴t2＋（4－t）2＝(2)2

∴ t1＝2+，t2＝2－.

當(dāng)E、F兩點(diǎn)分別在BC、CD上時(shí)，

則CE=8－t，EB=t－4

∵CE2＋CF2＝EF2

∴(8－t)2＋（t－4）2＝(2)2

∴ t1＝6+，t2＝6－.

（2）

∵E,F兩點(diǎn)速度相同，∴AE=BF

又∵正方形ABCD中，AD=BA,∠DAB=∠B=90°，

∴△DAE≌△ABF，

∴∠ADE=∠BAF

∴∠ADE+DAF=90°，即∠AMD=90°

所以點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，AD為直徑的圓上，連接OC交圓O于點(diǎn)M1,此時(shí)CM長(zhǎng)度最短，在Rt△DOC中，CO=

所以CM的最小值為 cm；

②

如圖，過點(diǎn)C作CN⊥DE，由題意易證：△DAM≌△CDN，∴DN=AM，又∵CM=CD=4,且CN⊥DE，∴DM=2AM,即

由上一問可知：∠AMD=90°，∴∠DAE=∠AMD,∠ADM=∠EDA

∴△DAE∽△DMA

∴

∴t=AE=2，

當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C,點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)AM=4，此時(shí)t=8,

綜上，當(dāng)CM＝4 cm時(shí)，此時(shí)t的值為2或8.