Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D是⊙O上的一點，且AD∥CO．
（1）求證：△ADB∽△OBC；
（2）連結CD，試說明CD是⊙O的切線；
（3）若AB=2， ，求AD的長．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠OBC=90°，

∵AD∥CO，

∴∠A=∠BOC，

∴△ADB∽△OBC

（2）如圖，連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AD∥CO，

∴∠DFO=90°，

∵∠ODB=∠OBD，

∴∠DOF=∠BOF，

∵OD=OB，OC=OC，

在△ODC和△OBC中，

∴△ODC≌△OBC（SAS），

∴∠CDO=∠CBO=90°，

∴CD是⊙O的切線

（3）∵AB=2，

∴OB=1，

∵ ，

∴OC= = ．

∵AD∥CO，

∴∠DAB=∠COB，

∵∠ADB=∠OBC=90°，

∴△ADB∽△OBC，

∴ = ，即 = ，

解得AD=

【解析】（1）運用∠A=∠BOC，∠ADB=∠OBC證明即可．（2）連接OD，SAS證明△ODC≌△OBC，得出∠CDO=∠CBO=90°，即可得出CD是⊙O的切線；（3）先求出OB，OC的長，再運用△ADB∽△OBC，求出AD的長．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．