Question

【題目】如圖，拋物線經過點A（﹣1，0）和B（0，2 ），對稱軸為x= ．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線與x軸交于另一個交點為C，點D在線段AC上，已知AD=AB，若動點P從A出發沿線段AC以每秒1個單位長度的度數勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從B出發沿線段BC勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線BD垂直平分？若存在，求出點Q的運動速度；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的前提下，過點B的直線l與x軸的負半軸交于點M，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形與△PBC相似？如果存在，請直接寫出M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=a（x﹣ ）2+k，（a≠），

把點A（﹣1，0）和B（0，2 ）代入得到 ，

解得 ，

∴y=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：令y=0得到﹣ x2+ x+2 =0，解得x= 或﹣1，

∴C（ ，0），A（﹣1，0），AB= =3，

∵AD=AB，

∴AD=3，

∴D（2，0），

∵PB被BD垂直平分，

∴BP=BQ，

∴∠DBP=∠DBQ，

∴ （角平分線的性質定理，可以用面積法證明），

∴ = ，

∴t=2或 ，

∵t＜3，

∴t=2，

∴BP=3，BQ=3，

∴VQ=

（3）

解：存在．理由如下：

由題意P（1，0），PB=3，PC= ，

∵BA=BP=2，

∴∠BAP=∠BPA，

∴∠BPC=∠BAM，

①當 ，△MAB∽△BPC，

∴ = ，

∴AM= ，OM=OA+AM=

∴M（﹣ ，0）．

②當 時，△MAB∽CPB，

∴ = ，

∴AM= ，OM=AM+OA= ，

∴M（﹣ ，0）．

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣ ）2+k，（a≠），把點A（﹣1，0）和B（0，2 ）代入，解方程組即可解決問題．（2）首先求出A、C坐標，由∠DBP=∠DBQ，可得 （角平分線的性質定理，可以用面積法證明），即 = ，解方程即可解決問題．（3）存在．理由如下：首先證明∠BPC=∠BAM，分兩種情形討論①當 ，△MAB∽△BPC，列出方程解方程即可．②當 時，△MAB∽CPB，列出方程解方程即可．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的應用，需要了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能得出正確答案．