Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足為H，D為直線BC上一動點(不與點B、C重合)，在AD的右側作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）求證：BD=CE；

（2）若點D在線段BC上，問點D運動到何處時，AC⊥DE？請說明理由；

（3）當CE∥AB時，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數．(直接寫出結果，無需寫出求解過程)

　　　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當點D運動到BC中點(H點)時，AC⊥DE．理由見解析；（3）∠ADB的度數為20°或40°或100°．

【解析】

（1）由∠DAE=∠BAC證明∠BAD=∠CAE，再證明△BAD≌△CAE即可得到結論，

（2）利用等腰三角形的性質，證明∠CAH=∠CAE，再利用三線合一可得結論，

（3）分三種情形：①當點D在CB的延長線上時，∠ADB=40°； ②當點D在線段BC上時，最小角只能是∠DAB=20°，此時∠ADB=180°-20°-60°=100°． ③當點D在BC 延長線上時，最小角只能是∠ADB=20°；即可得到答案．

證明：（1）如圖1．

∵∠DAE=∠BAC

∴∠BAD=∠CAE

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD=CE．

（2）當點D運動到BC中點(H點)時，AC⊥DE

理由是：如圖2．

∵AB=AC，AH⊥BC

∴∠BAH=∠CAH

∵∠BAH=∠CAE，

∴∠CAH=∠CAE

∵AH=AE，

∴AC⊥DE．

（3）∠ADB的度數為20°或40°或100°．

理由如下：

①如圖3中，當點D在CB的延長線上時，

∵CE∥AB，

∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC．

∵△DAB≌△EAC，

∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°

∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，

則∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．

②當點D在線段BC上時，最小角只能是∠DAB=20°，

同理可得：∠ADB=180°-20°-60°=100°．

③當點D在BC延長線上時，最小角只能是∠ADB=20°，

綜上所述：滿足條件的∠ABD的值為20°或40°或100°．