Question

【題目】在菱形中，對角線，交于點，為上點，且，為上點，為上點，且，并與相交于點．

求證：；

若，，求的長．（結果用表示）

Answer 1

【答案】證明見解析；（2）

【解析】

（1）由菱形性質得AC⊥BD，由已知得出∠CEB＝∠CBE，由MF⊥BE，得出∠BOE＝∠BFM，即可得出結論；

（2）作MP∥AC于BE交于點P，與OB交于點Q，由△BOE∽△MFB，得出∠EBO＝∠FMB，證出tan∠OCB＝，由平行線的性質得出∠MPB＝∠CEB＝∠CBE，∠MQN＝90°，，證出△MBP為等腰三角形，由等腰三角形的三線合一性質得出BF＝FP，∠PMF＝∠BMF＝∠PBQ，證得△PBQ∽△NMQ，由對應邊成比例得出比例式即可求出結果．

) ∵、是菱形的對角線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

作與交于點，與交于點，如圖所示：

由，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，，，

∴為等腰三角形，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴