Question

【題目】如圖，對稱軸為的拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中點坐標為設拋物線的頂點為．

求拋物線的解析式及頂點坐標；

為軸上的一點，當的周長最小時，求點的坐標及的周長．

Answer 1

【答案】（1），頂點；（2），的周長最小值．

【解析】

（1）根據題意得出方程組，求出b和c的值，得出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標；

（2）求出C（0，3），得出C點關于x軸的對稱點C′（0，﹣3），連接C′D交x軸于M，則△MCD的周長最小，由待定系數法求出直線C′D的解析式，即可得出M（，0），過D作DE⊥y軸于E，得出DE=1，CD=1，C′E=7，由勾股定理求出CD=，C′D=5，即可得出△MCD的周長最小值．

（1）根據題意得：，解得：b=2，c=3，∴拋物線的解析式為y═﹣x2+2x+3，當x=1時，y=﹣1+2+3=4，∴頂點D（1，4）；

（2）當x=0時，y=3，∴C（0，3），∴C點關于x軸的對稱點C′（0，﹣3），連接C′D交x軸于M，則△MCD的周長最小，CM=C′M，設直線C′D的解析式為y=kx+b（k≠0），∴，∴k=7，∴y=7x﹣3，當y=0時，7x﹣3=0，解得：x=，∴M（，0），過D作DE⊥y軸于E．

∵C（0，3），D（1，4），∴DE=1，CD=1，C′E=7，∴CD=，C′D=5，∴△MCD的周長最小值=+5=6．