Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，過點D作DF⊥BC，垂足為F，DF與AC交于點M，已知∠1=∠2.

(1)求證：CM=DM；

(2)若FB=FC,求證：AM-MD=2FM.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）要證明MC=MD，即要證明∠MCD=∠2，因為∠1=∠2，所以即要證明∠MCD=∠1，由AB∥CD不難證明；（2）首先通過倍長中線造全等構造出△BFK≌△CFD，進而證明出A、B、K三點共線，再由∠2=∠K，∠1=∠2，得出∠1=∠K，所以得出AM=MK，MK=MF+KF=MF+FD=MF+FM+MD=2MF+MD.

試題解析：

（1）證明：∵AB∥CD，

∴∠1=∠MCD，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠MCD，

∴MC=MD；

（2）證明：延長DF到點K，使得FK=DF，連接BK，

在△BFK和△CFD中，

，

∴△BFK≌△CFD，

∴∠KBC=∠BCD，

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∵∠KBC=∠BCD，

∴∠ABC+∠KBC=180°，

∴A、B、K三點共線，

∵∠2=∠K，∠1=∠2，

∴∠1=∠K，

∴AM=MK=MF+KF=MF+FD=MF+FM+MD=2MF+MD，

∴AM－MD=2MF.