Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，弦CD平分∠ACB，點E為弧AD上一點，連接CE、DE，CD與AB交于點N．

（1）如圖1，求證：∠AND=∠CED；

（2）如圖2，AB為⊙O直徑，連接BE、BD，BE與CD交于點F，若2∠BDC=90°﹣∠DBE，求證：CD=CE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OF，若BE=BD+4，BC=，求線段OF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）OF=.

【解析】

（1）連接BE，則∠CAB=∠CEB，∠BCD=∠DEB，由CD是∠ACB的平分線得∠ACD=∠BCD，從而，∠CAB+∠ACD=∠CEB+∠DEB；由∠CAB+∠ACD=∠AND可得結論；

（2）根據2∠BDC=90°-∠DBE得∠BDC+∠DBE=90°-∠BDC，由∠BDC=∠BAC得∠BDC+∠DBE=∠CFB，結合AB是直徑可得∠CFB=∠CBN，從而可證明∠CDE=∠CED，故可得結論；

（3）過C作CM⊥BE，CK⊥DB易證△CEM≌△CDK，△CMB≌△CKB從而求出CM=6，作FH⊥BC于點H,FH交CM于點G，易證△CGH≌△FHB，得CG=BF，設FM=x，利用tan∠GFM=tan∠MCB==求得 FM=3,CF=3. 作EQ⊥DF交DF于點Q，通過△CBF∽△EDF設FQ=3k，EQ==6k，則DQ=2k,EF=3k，DE=2k得BE=5+3k，BD=BE-4=3k+1，作DP⊥BE交于點P，運用勾股定理求出k的值，連接OD,在Rt△ODF中,OF2=OD2 -DF2=50-45=5，故OF=.

(1)證明：連接BE.

∠CED=∠CEB+∠DEB

∠AND=∠CAB+∠ACD

∵CD是∠ACB的平分線

∴∠ACD=∠BCD=∠DEB

∵∠CAB=∠CEB，

∴∠CAB+∠ACD=∠CEB+∠DEB

∠CED=∠AND；

(2)∵2∠BDC=90-∠DBE

∴∠BDC+∠DBE=90°-∠BDC

∵∠BDC=∠BAC

∴∠BDC+∠DBE=∠CFB

∴90°-∠DBE=90°-∠CAB

∵AB是直徑，∴∠ACB=90

∴∠CFB=∠CBN，

∠CNB=∠CBE=∠CDE

∠CNB=∠AND=∠CED

∴∠CDE=∠CED，

∴CE=CD；

(3)過C作CM⊥BE，CK⊥DB

∴∠CME=∠CKD=90°，∠CEM=∠CDK，CE=CD

∴△CEM≌△CDK，∴EM=DK，CM=CK

∴△CMB≌△CKB，∴BM=BK

∴BE-BD=2BM=4，BM=2，∴CM=6.；

作FH⊥BC于點H,FH交CM于點G

∵∠FCB=45°∴△CGH≌△FHB，∴CG=BF

設FM=x，∴CG=BF=x+2，GM=6-(x+2)=4-x

tan∠GFM=tan∠MCB==

∴x=3,FM=3,CF=3.

∵△CBF∽△EDF(可以用正切值相等)

作EQ⊥DF交DF于點Q

設FQ=3k，EQ==6k，則DQ=2k,EF=3k，DE=2k

∴BE=5+3k，BD=BE-4=3k+1

作DP⊥BE交于點P,∵∠PED=∠BCD=45°,

∴PD=PE=DE=2k,PB=BE-PE=5+k；

在Rt△PDB中，PB2+PD2=DB2,(5+k)2+(2k)2=(3k+1)2

∴k=, DF=5k=3=CF, BD=3k+1=10,；

∴OF⊥CD

連接OD,∴∠AOD=∠BOD=90°,∴OD=BD=5

在Rt△ODF中,OF2=OD2 -DF2=50-45=5，∴OF=