Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB邊上的兩點，以DF為直徑的⊙O與BC相交于點E，連接EF，過F作FG⊥BC于點G，其中∠OFE= ∠A．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若sinB= ，⊙O的半徑為r，求△EHG的面積（用含r的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OE，

∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，

∴∠BGF=∠C=90°，

∴FG∥AC，

∴∠OFG=∠A，

∴∠OFE= ∠OFG，

∴∠OFE=∠EFG，

∵OE=OF，

∴∠OFE=∠OEF，

∴∠OEF=∠EFG，

∴OE∥FG，

∴OE⊥BC，

∴BC是⊙O的切線

（2）

解：∵在Rt△OBE中，sinB= ，⊙O的半徑為r，

∴OB= r，BE= r，

∴BF=OB+OF= r，

∴FG=BFsinB= r，

∴BG= = r，

∴EG=BG﹣BE= r，

∴S△FGE= EGFG= r2，EG：FG=1：2，

∵BC是切線，

∴∠GEH=∠EFG，

∵∠EGH=∠FGE，

∴△EGH∽△FGE，

∴ =（ ）= ，

∴S△EHG= S△FGE= r2．

【解析】（1）首先連接OE，由在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE= ∠A，易得EF平分∠BFG，繼而證得OE∥FG，證得OE⊥BC，則可得BC是⊙O的切線；
　　　　（2）由在△OBE中，sinB= ，⊙O的半徑為r，可求得OB，BE的長，然后由在△BFG中，求得BG，FG的長，則可求得EG的長，易證得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得答案．此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質以及三角函數等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．