Question

【題目】如圖，在中，，點為的中點，，繞點旋轉，、分別與邊、交于、兩點.下列結論：①；②；③；④；⑤與可能互相平分.

其中，正確的結論是___________________（填序號）

Answer 1

【答案】①②⑤

【解析】

先由ASA證明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=BC，從而判斷①；設AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面積公式得出S△AEF=-（x-a）2+a2，S△ABC=×a2=a2，再根據二次函數的性質即可判斷②；
由勾股定理得到EF的表達式，利用二次函數性質求得EF最小值為a，而AD=a，所以EF≥AD，從而④錯誤；先得出S四邊形AEDF=S△ADC=AD，再由EF≥AD得到ADEF≥AD2，∴ADEF＞S四邊形AEDF，所以③錯誤；如果四邊形AEDF為平行四邊形，則AD與EF互相平分，此時DF∥AB，DE∥AC，又D為BC中點，所以當E、F分別為AB、AC的中點時，AD與EF互相平分，從而判斷⑤．

解：∵Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點，

∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，

∵∠MDN=90°，

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△AED與△CFD中， ，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF，

在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=

BD=BC．

故①正確；

設AB=AC=a，AE=CF=x，則AF=a-x．

∵S△AEF=AEAF=x（a-x）=-（x-a）2+a2，

∴當x=a時，S△AEF有最大值a2，
又∵S△ABC=×a2=a2，

∴S△AEF≤S△ABC．

故②正確；

EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x-a）2+a2，

∴當x=a時，EF2取得最小值a2，

∴EF≥a（等號當且僅當x=a時成立），

而AD=a，

∴EF≥AD．

故④錯誤；

由①的證明知△AED≌△CFD，
∴S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=AD2，

∵EF≥AD，

∴ADEF≥AD2，

∴ADEF＞S四邊形AEDF

故③錯誤；

當E、F分別為AB、AC的中點時，四邊形AEDF為正方形，此時AD與EF互相平分．

故⑤正確．

綜上所述，正確的有：①②⑤．

故答案為：①②⑤．