Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD．

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2）當∠ODB＝30°，BC＝時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據垂徑定理得到弧CD=弧AD，然后根據圓周角定理得∠CBD=∠DBA；
（2）由于∠OBD=∠ODB=30°，則∠ABC=60°，再根據半圓（或直徑）所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系．可得到直徑AB的長，則即可得到圓的半徑．

（1）證明：∵OD⊥AC，

∴，

∴∠CBD＝∠DBA，

∴BD平分∠ABC；

（2）∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝，

∴AB＝2BC＝2，

∴⊙O的半徑為．