Question

【題目】如圖，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=a，點P在AD上，且AP=2，點E是邊AB上的動點，以PE為邊作直角∠EPF，射線PF交BC于點F，連接EF，給出下列結論：①tan∠PFE=；②a的最小值為10.則下列說法正確的是( )

A.①②都對B.①②都錯C.①對②錯D.①錯②對

Answer 1

【答案】C

【解析】

①，利用矩形ABCD四個直角，再加上∠EPF為直角，聯想到構造三垂直模型，故過F作AD垂線，垂足為G，即有△AEP∽△GPF，且相似比為1：2，即求得tan∠PFE．

②顯然，若a要取最小值，則F、C要重合（G、D重合），又AE與PG為對應邊，AE越小則PG（PD）越小，當AE=0時，PD=0最小，此時a=2．

解：過點F作FG⊥AD于點G

∴∠FGP=90°

∵矩形ABCD中，AB=4，∠A=∠B=90°

∴四邊形ABFG是矩形，∠AEP+∠APE=90°

∴FG=AB=4

∵∠EPF=90°

∴∠APE+∠FPG=90°

∴∠AEP=∠FPG

∴△AEP∽△GPF

∴，故①正確；

如圖2，當A、E重合，C、F重合，D、P重合時，AD最短，此時a=2，故②錯誤．

故選擇：C.