Question

【題目】如圖，一次函數 yax 2(a0) 的圖象與反比例函數 y(k0) 的圖象交于 A、B兩點，且與x軸、y軸分別交于點C、D．已知 tan∠AOC=，AO=．

（1）求這個一次函數和反比例函數的解析式；

（2） 若點 F 是點D 關于 x 軸的對稱點，求△ABF 的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣，y=﹣x﹣2；（2）8

【解析】分析：（1）先過點A作AE⊥x軸于E，構造Rt△AOE，再根據tan∠AOC=，AO=，求得AE=1，OE=3，即可得出A（-3，1），進而運用待定系數法，求得一次函數和反比例函數的解析式；

（2）先點F是點D關于x軸的對稱點，求得F（0，2），再根據解方程組求得B（1，-3），最后根據△ABF的面積=△ADF面積+△BDF面積，進行計算即可．

詳解：（1）過點A作AE⊥x軸于E，

∵tan∠AOC=，AO=，

∴Rt△AOE中，AE=1，OE=3，

∵點A在第二象限，

∴A（﹣3，1），

∵反比例函數y=（k≠0）的圖象過點A，

∴k=﹣3×1=﹣3，

∴反比例函數的解析式為y=﹣，

∵一次函數y=ax﹣2（a≠0）的圖象過點A，

∴1=﹣3a﹣2，

解得a=﹣1，

∴一次函數的解析式為y=﹣x﹣2；

（2）一次函數的解析式y=﹣x﹣2中，令x=0，則y=﹣2，

∴D（0，﹣2），

∵點F是點D關于x軸的對稱點，

∴F（0，2），

∴DF=2+2=4，

解方程組，可得或，

∴B（1，﹣3），

∵△ADF面積=×DF×CE=6，

△BDF面積=×DF×|xB|=2，

∴△ABF的面積=△ADF面積+△BDF面積=6+2=8．