Question

【題目】如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）問在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（3）若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn)D，滿足DA＝OA，過D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)△ADG的內(nèi)心為I，試求CI的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，），理由見解析；（3）

【解析】

（1）將A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+3即可求得答案；

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，p），可求得頂點(diǎn)M（1，4），利用兩點(diǎn)之間的距離公式分別求得、、，分類討論計(jì)算：當(dāng)∠PAM＝90°、∠APM＝90°、∠AMP＝90°時(shí)p的值，從而得到結(jié)論；

（3）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義作三邊的高線，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)知四邊形IEGH是正方形，設(shè)點(diǎn)I坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的意義及切線長(zhǎng)定理求得：AG＝n+3﹣m，DG＝m+n，由勾股定理DG2+AG2＝DA2化簡(jiǎn)并配方得：（m﹣）2+（n+）2＝，逆用兩點(diǎn)之間的距離公式知：點(diǎn)I（m，n）與定點(diǎn)Q（，﹣）的距離為，當(dāng)點(diǎn)I在線段CQ上時(shí)，CI最小，從而求得答案.

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0）

∴， 解得：．

∴這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）在y軸上存在點(diǎn)P，使得△PAM為直角三角形．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)M（1，4），

∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，p），

①AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2/span>

若∠PAM＝90°，則AM2+AP2＝MP2，

∴20+9+p2＝17﹣8p+p2，解得：p＝﹣，

∴P（0，﹣）；

②若∠APM＝90°，則AP2+MP2＝AM2，

∴9+p2+17﹣8p+p2＝20，解得：p1＝1，p2＝3，

∴P（0，1）或（0，3）；

③若∠AMP＝90°，則AM2+MP2＝AP2，

∴20+17﹣8p+p2＝9+p2，解得：p＝，

∴P（0，）

綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）時(shí)，△PAM為

直角三角形．

（3）如圖，過點(diǎn)I作IE⊥x軸于點(diǎn)E，IF⊥AD于點(diǎn)F，IH⊥DG于點(diǎn)H

∵DG⊥x軸于點(diǎn)G，∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°，∴四邊形IEGH是矩形，

∵點(diǎn)I為△ADG的內(nèi)心，∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG，

∴矩形IEGH是正方形，

設(shè)點(diǎn)I坐標(biāo)為（m，n），

∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n，

∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m，

∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m，

∵DA＝OA＝3，

∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m，

∴DG＝DH+HG＝m+n，

∵DG2+AG2＝DA2，∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32，

∴化簡(jiǎn)得：m2﹣3m+n2+3n＝0，

配方得：（m﹣）2+（n+）2＝，

∴點(diǎn)I（m，n）與定點(diǎn)Q（，﹣）的距離為，

∴點(diǎn)I在以點(diǎn)Q（，﹣）為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)點(diǎn)I在線段CQ上時(shí)，CI最小，

∵CQ＝，∴CI＝CQ﹣IQ＝，

∴CI最小值為．