Question

【題目】已知拋物線C：y1＝a（x﹣h）2﹣1，直線l：y2＝kx﹣kh﹣1．

（1）求證：直線l恒過拋物線C的頂點；

（2）當a＝﹣1，m≤x≤2時，y1≥x﹣3恒成立，求m的最小值；

（3）當0＜a≤2，k＞0時，若在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標為整數的點，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）m的最小值為1；（3）k＞4．

【解析】

(1)由拋物線的解析式可知拋物線的頂點坐標為(h，-1)，然后證明點(h,-1)符合直線y2＝kx﹣kh﹣1的解析式即可;

(2)令,依據拋物線的解析式可得到拋物線的頂點在直線y=-1上，由m≤x≤2時，y1≥x－3恒成立可得到拋物線的頂點坐標為(2，-1)，然后找出拋物線y1＝a（x﹣h）2﹣1位于直線上方時自變量x的取值范圍，從而可確定出m的最小值;

(3)由(1)可知拋物線C與直線l都過點A(h,-1).當0<a≤3時，k>0,在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標為整數點，即當x=h+2時，恒成立，然后由可得到關于k的不等式，從而可求得k:的取值范圍.

（1）拋物線C的頂點坐標為（h，﹣1），

當x＝h時，y2＝kh﹣kh﹣1＝﹣1，

所以直線l恒過拋物線C的頂點；

（2）當a＝﹣1時，拋物線C解析式為y1＝﹣（x﹣h）2﹣1，

不妨令y3＝x﹣3

如圖1所示：拋物線C的頂點在直線y＝﹣1上移動，

當m≤x≤2時，y1≥x﹣3恒成立，

則可知拋物線C的頂點為（2，﹣1），

設拋物線C與直線y3＝x﹣3除頂點外的另一交點為M，

此時點M的橫坐標即為m的最小值，

由，解得：x＝1，x＝2，

所以m的最小值為1．

（3）如圖2所示：由（1）可知：拋物線C與直線l都過點A（h，﹣1）．

當0＜a≤2時，k＞0，在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標為整數點，即當x＝h+2時，y2＞y1恒成立．

所以k（h+2）﹣kh﹣1＞a（h+2﹣h）2﹣1，整理得：k＞2a．

又因為0＜a≤2，

所以0＜2a＜4，所以k＞4．