Question

【題目】日前，中國兒童文學作家曹文軒榮獲2016年國際兒童讀物聯盟（IBBY）國際安徒生獎，新安書店抓住契機，以每本20元的價格購進一批暢銷書《曹文軒作品集》．銷售過程中發現，每月銷售量y（本）與銷售單價x（元）之間的關系如下表所示，按照表中y與x的關系規律，解決下面的問題：

x	25	28	30	32	35
y	250	220	200	180	150

（1）試求出y與x的函數關系式．
（2）銷售單價在什么范圍時，書店能盈利？
（3）如果想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么該書店每月的成本最少需要多少元？（成本=每本進價×銷售量）

Answer 1

【答案】
（1）解：設每月銷售量y與銷售單價x之間的函數關系式為y=kx+b，

由題意，得 ，

解得： ，

∴y與x之間的函數關系式為y=﹣10x+500

（2）解：設書店的利潤為w，由題意，得

w=（﹣10x+500）（x﹣20），

w=﹣10x2+700x﹣10000，

當w≥0時，

﹣10x2+700x﹣10000≥0，

（x﹣20）（x﹣50）≤0

解得：20≤x≤50．

答：銷售單價在20≤x≤50范圍時，書店不虧損

（3）解：由題意，得

﹣10x2+700x﹣10000≥2000，

解得：30≤x≤40

當x=30時，y=200，

∴成本為：200×20=4000，

當x=40時，y=100，

∴成本為：20×100=2000．

∵2000＜4000，

∴該書店每月的成本最少需要2000元．

【解析】（1）先分析出函數的類型，x均勻變化，y也均勻變化，那么就是一次函數，可設y=kx+b；（2）構建關于利潤的函數，發生盈利也就是利潤w≥0，數形結合，可求出范圍；（3）由“利潤不低于2000”可構建不等式﹣10x2+700x﹣10000≥2000.