Question

直線AB：y=-x-b分別與x、y軸交于A（6，0）、B兩點，過點B的直線交x軸負半軸于C，且OB：OC=3：1．
（1）求直線BC的解析式；
（2）直線EF：y=2x-k（k≠0）交AB于E，交BC于點F，交x軸于D，是否存在這樣的直線EF，使得S_△EBD=S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（3）如圖，P為A點右側x軸上一動點，以P為直角頂點、BP為腰在第一象限內作等腰直角三角形△BPQ，連接QA并延長交y軸于點K，當P點運動時，K點的位置是否發生變化？如果不變請求出它的坐標，如果變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設BC的解析式是Y=ax+c，有直線AB：y=-x-b過A（6，0），可以求出b，因此可以求出B點的坐標，再由已知條件可求出C點的坐標，把B，C點的坐標分別代入求出a和c的值即可；
（2）過E、F分別作EM⊥x軸，FN⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°，有題目的條件證明△NFD≌△EDM，進而得到FN=ME，聯立直線AB：y=-x-b和y=2x-k求出交點E和F的縱坐標，再利用等底等高的三角形面積相等即可求出k的值；
（3）不變化，過Q作QH⊥x軸于H，首先證明△BOP≌△HPQ，再分別證明△AHQ和△AOK為等腰直角三角形，問題得解．

解答：解：（1）由已知：0=-6-b，
∴b=-6，
∴AB：y=-x+6．
∴B（0，6），
∴OB=6，
∵OB：OC=3：1，
OC=

OB

3

=2，
∴C（-2，0），
設BC的解析式是Y=ax+c，代入得；

6=0•a+c 0=-2a+c

，
解得：

a=3 c=6

，
∴直線BC的解析式是：y=3x+6；

（2）過E、F分別作EM⊥x軸，FN⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°．
∵S_△EBD=S_△FBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
∴△NFD≌△EDM，
∴FN=ME．
聯立得

y=2x-k y=-x+6

，解得yE=-

1

3

k+4，
聯立

y=2x-k y=3x+6

，解得yF=-3k-12，
∵FN=-y_F，ME=y_E，
∴3k+12=-

1

3

k+4，
∴k=-2.4；
當k=-2.4時 存在直線EF：y=2x-2.4，使得S_△EBD=S_△FBD；

（3）K點的位置不發生變化，K（0，-6）．
過Q作QH⊥x軸于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
∴△BOP≌△HPQ，
∴PH=BO，OP=QH，
∴PH+PO=BO+QH，
即OA+AH=BO+QH，
又OA=OB，
∴AH=QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH=45°，
∴∠OAK=45°，
∴△AOK為等腰直角三角形，
∴OK=OA=6，
∴K（0，-6）．

點評：此題綜合考查了用待定系數法求一次函數的解析式、全等三角形的判定和全等三角形的性質，以及等腰直角三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確求解析式以及借助于函數圖象全面的分析問題．