Question

如圖，在平面直角坐標系中，以（1，0）為圓心的⊙P與y軸相切于原點O，過點A（-1，0）的直線AB與⊙P相切于點B．
（1）求AB的長；
（2）求AB、OA與

OB

所圍成的陰影部分面積（不取近似值）；
（3）求直線AB的解析式；
（4）直線AB上是否存在點M，使OM+PM的值最小？如果存在，請求出點M的坐標；如果不存在，請說理．

Answer 1

分析：（1）連接PB，由于A、P的坐標已知，因此求出OA、AP的長度，由直線AB與⊙P相切于點B，利用切割線定理可以求出AB的長度；
（2）連接OB，根據已知條件知道C為AP的中點，利用（1）的結果可以得到∠OPB=60°，而S_陰影=S_△ABP-S_扇形POB，因此即可求出陰影部分面積；
（3）設直線AB與y軸相交于點C，根據已知條件可以得到∠BAP=30°，而OA=1，因此可以求出CO的長度，即求出了C的坐標，而A的坐標已知，再利用待定系數法即可求出AB的解析式；
（4）延長PB交y軸于點N，根據已知條件可以求出∠ONP=30°，然后得到PN=2PO=2，接著得到BN=PN-PB=1=PB，所以直線AB是線段PN的垂直平分線，點P、N關于直線AB成軸對稱，即ON與直線AB的交點C就是所求的點M，然后即可求出M的坐標．

解答：解：（1）連接PB
∵點A、P的坐標分別為（-1，0）、（1，0），
∴OA=OP=1，
∴PA=2．
∵直線AB與⊙P相切于點B，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP=90°
又∵⊙P與y軸相切于原點O，
∴PB=OP=1，
∴AB=

AP2-BP2

=

22-12

=

3

；

（2）連接OB
∵∠ABP=90°，OA=OP，
∴OB=OP=

1

2

AP，
又∵PB=OP，
∴PB=OP=OB，
∴∠OPB=60°，
∴S_陰影=S_△ABP-S_扇形POB
=

1

2

×

3

×1-

60×12π

360

=

3

2

-

π

6

=

3 3 -π

6

；

（3）設直線AB與y軸相交于點C
∵∠OPB=60°，∠ABP=90°，
∴∠BAP=180°-60°-90°=30°，
∴在Rt△OAC中，OC=

1

2

AC，
設OC=x，則AC=2x，
依題意得（2x）²=x²+1²，
解得x=±

3

3

，
∵x＞0，
∴x=

3

3

；
∴點C坐標為（0，

3

3

），
可設直線AB的解析式為y=kx+

3

3

（k≠0），
∵直線AB過點A（-1，0），
∴-1•k+

3

3

=0，
∴k=

3

3

；
∴直線AB的解析式為y=

3

3

x+

3

3

；

（4）延長PB交y軸于點N
在Rt△OPN中，∠ONP=180°-60°-90°=30°，
∴PN=2PO=1×2=2，
∴BN=PN-PB=1=PB；
又∵PB⊥AB，
∴直線AB是線段PN的垂直平分線，點P、N關于直線AB成軸對稱
∴ON與直線AB的交點C就是所求的點M．
故直線AB上存在點M，使OM+PM的值最小，點M即點C（0，

3

3

）．

點評：此題比較復雜，考查了一次函數的圖象和性質、圓的切線的性質、待定系數法確定直線的解析式、解直角三角形及軸對稱的性質及應用，綜合性非常強，對于學生的要求很高，解題時一定要有耐心．