Question

【題目】某課題研究小組就圖形面積問題進行專題研究，他們發現如下結論： ①有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應高之比；
②有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；
…
現請你繼續對下面問題進行探究，探究過程可直接應用上述結論．（S表示面積）

問題1：如圖1，現有一塊三角形紙板ABC，P1 ， P2三等分邊AB，R1 ， R2三等分邊AC．經探究知 = S△ABC ， 請證明．
問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1 ， Q2三等分邊DC．請探究 與S四邊形ABCD之間的數量關系．
問題3：如圖3，P1 ， P2 ， P3 ， P4五等分邊AB，Q1 ， Q2 ， Q3 ， Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD=1，求 ．
問題4：如圖4，P1 ， P2 ， P3四等分邊AB，Q1 ， Q2 ， Q3四等分邊DC，P1Q1 ， P2Q2 ， P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S1 ， S2 ， S3 ， S4 ． 請直接寫出含有S1 ， S2 ， S3 ， S4的一個等式．

Answer 1

【答案】解：問題1，證明： 如圖1，連接P1R2 ， R2B，在△AP1R2中，∵P1R1為中線，∴S△AP1R1=S△P1R1R2 ，
同理S△P1R2P2=S△P2R2B ，
∴S△P1R1R2+S△P1R2P2= S△ABR2=S四邊形P1P2R2R1 ，
由R1 ， R2為AC的三等分點可知，S△BCR2= S△ABR2 ，
∴S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四邊形P1P2R2R1+2S四邊形P1P2R2R1=3S四邊形P1P2R2R1 ，
∴S四邊形P1P2R2R1= S△ABC；
問題2，S四邊形ABCD=3S四邊形P1Q1Q2P2 ．
理由：如圖2，連接AQ1 ， Q1P2 ， P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1為中線，
∴S△AQ1P1=S△P1Q1P2 ， 同理S△P2Q1Q2=S△P2Q2C ，
∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2= S四邊形AQ1CP2=S四邊形P1Q1Q2P2 ，
由Q1 ， P2為CD，AB的三等分點可知，S△ADQ1= S△AQ1C ， S△BCP2= S△AP2C ，
∴S△ADQ1+S△BCP2= （S△AQ1C+S△AP2C）= S四邊形AQ1CP2 ，
∴S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC=S四邊形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2=3S四邊形P1Q1Q2P2 ，
即S四邊形ABCD=3S四邊形P1Q1Q2P2；
問題3，解：
如圖3，由問題2的結論可知，3S2=S1+S2+S3 ， 即2S2=S1+S3 ， 同理得2S3=S2+S4 ， 2S4=S3+S5 ，
三式相加得，S2+S4=S1+S5 ，
∴S1+S2+S3+S4+S5=2（S2+S4）+S3=2×2S3+S3=5S3 ，

即S四邊形P2Q2Q3P3= S四邊形ABCD= ；
問題4，如圖4，關系式為：S2+S3=S1+S4
【解析】問題1，圖1中，連接P1R2 ， R2B，由三角形中線的性質得S△AP1R1=S△P1R1R2 ， S△P1R2P2=S△P2R2B ， 再由R1 ， R2為AC的三等分點，得S△BCR2= S△ABR2 ， 根據圖形的面積關系，得S△ABC與S四邊形P1P2R2R1的數量關系，證明結論； 問題2，圖2中，連接AQ1 ， Q1P2 ， P2C，由三角形的中線性質，得S△AQ1P1=S△P1Q1P2 ， S△P2Q1Q2=S△P2Q2C ， 由Q1 ， P2為CD，AB的三等分點可知，S△ADQ1= S△AQ1C ， S△BCP2= S△AP2C ， 得出S△ADQ1+S△BCP2與S四邊形AQ1CP2的關系，再根據圖形的面積關系，得S四邊形ABCD與S四邊形P1Q1Q2P2的等量關系；
問題3，圖3中，依次設四邊形的面積為S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， S5 ， 由問題2的結論可推出2S2=S1+S3 ， 2S3=S2+S4 ， 2S4=S3+S5 ， 三式相加，得S2+S4=S1+S5 ， 利用換元法求S1+S2+S3+S4+S5與S3的數量關系，已知S四邊形ABCD=1，可求S四邊形P2Q2Q3P3；
問題4，圖4中，由問題2的結論可知，2S2=S1+S3 ， 2S3=S2+S4 ， 兩式相加得S1 ， S2 ， S3 ， S4的等量關系．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的面積的相關知識，掌握三角形的面積=1/2×底×高．