Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中，一次函數y=﹣ x+b（b為常數，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方．
（1）若直線AB與 有兩個交點F、G． ①求∠CFE的度數；
②用含b的代數式表示FG2 ， 并直接寫出b的取值范圍；
（2）設b≥5，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖，

∵∠COE=90°

∴∠CFE= ∠COE=45°，（圓周角定理）

②方法一：

如圖，作OM⊥AB點M，連接OF，

∵OM⊥AB，直線的函數式為：y=﹣ x+b，

∴OM所在的直線函數式為：y= x，

∴交點M（ b， b）

∴OM2=（ b）2+（ b）2，

∵OF=4，

∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（ b）2﹣（ b）2，

∵FM= FG，

∴FG2=4FM2=4×[42﹣（ b）2﹣（ b）2]=64﹣ b2=64×（1﹣ b2），

∵直線AB與 有兩個交點F、G．

∴4≤b＜5，

∴FG2=64×（1﹣ b2） （4≤b＜5）

方法二：

① 如圖，作OM⊥AB點M，連接OF，

∵直線的函數式為：y=﹣ x+b，

∴B的坐標為（0，b），A的坐標為（ b，0），

∴AB= = b，

∴sin∠BAO= = = ，

∴sin∠MAO= = = ，

∴OM= b，

∴在RT△OMF中，

FM= =

∵FG=2FM，

∴FG2=4FM2=4（42﹣ b2）=64﹣﹣ b2=64×（1﹣ b2），

∵直線AB與 有兩個交點F、G．

∴4≤b＜5，

∴FG2=64×（1﹣ b2） （4≤b＜5）

（2）解：如圖，

當b=5時，直線與圓相切，

∵在直角坐標系中，∠COE=90°，

∴∠CPE=∠ODC=45°，

∴存在點P，使∠CPE=45°，

連接OP，

∵P是切點，

∴OP⊥AB，

∴△APO∽△AOB，

∴ = ，

∵OP=r=4，OB=5，AO= ，

∴ = 即AP= ，

∵AB= = = ，

作PM⊥AO交AO于點M，設P的坐標為（x，y），

∵△AMP∽△AOB，

∴ =

∴ = ，

∴y= ，

∴x=OM= = =

∴點P的坐標為（ ， ）．

當b＞5時，直線與圓相離，不存在P

【解析】（1）連接CD，EA，利用同一條弦所對的圓周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB點M，連接OF，利用兩條直線垂直相交求出交點M的坐標，利用勾股定理求出FM2 ， 再求出FG2 ， 再根據式子寫出b的范圍，（3）當b=5時，直線與圓相切，存在點P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽△AOB相似得出點P的坐標，再求出OP所在的直線解析式．