Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，

（1）作出AB邊的垂直平分線DE，交AC于點D，交AB于點E，連接BD；

（2）下列結論正確的是：

① BD平分∠ABC；② AD=BD=BC；③ △BDC的周長等于AB+BC； ④ D點是AC中點；

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①②③.

【解析】

根據線段的垂直平分線的性質（線段垂直平分線上的點與線段兩個端點的距離相等）求解即可求得答案,（1）利用線段垂直平分線的作法進而得出即可.

(2) 由在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,根據等邊對等角與三角形內角和定理,即可求得∠ABC與∠C的度數,又由AB的垂直平分線是DE,根據線段垂直平分線的性質,即可求得AD=BD,繼而求得∠ABD的度數,則可知BD平分∠ABC,可得△BCD的周長等于AB+BC,又可求得∠BDC的度數，,求得AD=BD=BC,則可求得答案,注意排除法在解選擇題中的應用．

(1)

(2) ∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,

∴∠ABC=∠C=72°,

∵AB的垂直平分線是DE,

∴AD=BD,

∴∠ABD=∠A=36°,

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD,

∴BD平分∠ABC,故①正確,

∴△BCD的周長為:BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故③正確；
∵∠DBC=36°,∠C=72°,

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,

∴∠BDC=∠C,

∴BD=BC,

∴AD=BD=BC,故②正確；
∵BD＞CD,

∴AD＞CD,

∴點D不是線段AC的中點,故④錯誤,

故答案為: ①②③.