Question

【題目】如圖，直線y=x+m與雙曲線y=相交于A，B兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC面積的最小值為_____．

Answer 1

【答案】6

【解析】

根據雙曲線y=過A，B兩點，可設A（a，），B（b，），則C（a，）．將y=x+m代入y=，整理得x2+mx-3=0，由于直線y=x+m與雙曲線y=相交于A，B兩點，所以a、b是方程x2+mx-3=0的兩個根，根據根與系數的關系得出a+b=-m，ab=-3，那么（a-b）2=（a+b）2-4ab=m2+12．再根據三角形的面積公式得出S△ABC=ACBC=m2+6，利用二次函數的性質即可求出當m=0時，△ABC的面積有最小值6．

設A（a，），B（b，），則C（a，）．

將y=x+m代入y=，得x+m=，

整理，得x2+mx-3=0，

則a+b=-m，ab=-3，

∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=m2+12．

∵S△ABC=ACBC

=（-）（a-b）

=（a-b）

=（a-b）2

=（m2+12）

=m2+6，

∴當m=0時，△ABC的面積有最小值6．

故答案為6．