Question

【題目】如圖，鈍角△ABC中，AB=AC，BC=2，O是邊AB上一點，以O為圓心，OB為半徑作⊙O，交邊AB于點D，交邊BC于點E，過E作⊙O的切線交邊AC于點F．

（1）求證：EF⊥AC．

（2）連結DF，若∠ABC=30°，且DF∥BC，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）因為EF為圓0的切線，故由此想到連接OE，得到∠OEF＝90°，再根據OB和OE的關系找出∠OEB＝∠C，判斷出OE平行于AC，即可以得出EF⊥AC.

（2）連接DE、DF，設圓的半徑為r,利用直徑所對的圓周角是直角，得出∠DEB為直角，再根據 EF⊥AC，OE⊥AB，角與角之間的關系可以求出∠EDF為直角，利用勾股定理求出BE、EC的長，再根據BE+EC＝可以求出圓O的半徑.

（1）證明：連接OE，如圖，

∵OB=OE，

∴∠B=∠OEB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠OEB=∠C，

∴OE∥AC，

∵EF為切線，

∴OE⊥EF，

∴EF⊥AC；

（2）解：連接DE，如圖，設⊙O的半徑長為r，

∵BD為直徑，

∴∠BED=90°，

在Rt△BDE中，∵∠B=30°，

∴DE=BD=r，BE=r，

∵DF∥BC，

∴∠EDF=∠BED=90°，

∵∠C=∠B=30°，

∴∠CEF=60°，

∴∠DFE=∠CEF=60°，

在Rt△DEF中，DF=r，

∴EF=2DF=r，

在Rt△CEF中，CE=2EF=r，

而BC=2，

∴r+r=2，解得r=，

即⊙O的半徑長為．