Question

【題目】如圖，已知二次函數y=x2+x﹣的圖象與x軸交于點 A，B，交 y 軸于點 C，拋物線的頂點為 D．

（1）求拋物線頂點 D 的坐標以及直線 AC 的函數表達式；

（2）點 P 是拋物線上一點，且點P在直線 AC 下方，點 E 在拋物線對稱軸上，當△BCE 的周長最小時，求△PCE 面積的最大值以及此時點 P 的坐標；

（3）在（2）的條件下，過點 P 且平行于 AC 的直線分別交x軸于點 M，交 y 軸于點N，把拋物線y=x2+x﹣沿對稱軸上下平移，平移后拋物線的頂點為 D'，在平移的過程中，是否存在點 D'，使得點 D'，M，N 三點構成的三角形為直角三角形，若存在，直接寫出點 D'的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）頂點D的坐標為（﹣1，﹣），直線AC的解析式為y=﹣x﹣；（2）當t=﹣時，△PEC的面積最大，最大值是，此時，點P的坐標為（﹣，﹣）；（3）存在點 D'，使得點 D'，M，N 三點構成的三角形為直角三角形，D′點的坐標為（﹣1， ）（﹣1， ），（﹣1， ），（﹣1， ）.

【解析】試題分析：（1）根據配方法，可得頂點坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案，根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據線段垂直平分線的性質，線段的性質，可得E的坐標，根據平行于y的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PQ，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；
（3）根據勾股定理，可得關于d的方程，根據解方程，可得答案．

試題解析：

（1）y=x2+x﹣=（x+1）2﹣，頂點D的坐標為（﹣1，﹣），

當y=0時， x2+x﹣=0，解得x1=﹣3，x2=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

當x=0時，y=﹣，

∴C（0，﹣），

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣

（2）∵△CPE得周長為BC+CE+BE，其中BC的長是固定的，

∴周長取得最小值就是BE+CE取得最小值，

∵點E是拋物線對稱軸上一點，

∴BE=AE，

∴BE+CE=AE+CE，

∴BE+CE的最小值是AC，點E是AC與對稱軸的交點．

∴點E為（﹣1，﹣）．

∵點P是拋物線上x軸下方一點，設點P為（t， t2+t﹣）．且t2+t﹣＜0．

過點P作QP⊥x軸交直線AC于點Q，點Q坐標為（t，﹣t﹣）．

當點p在對稱軸左側時，S△PCE=S△PCQ﹣S△PEQ=PQ（0﹣t）﹣PQ（﹣1﹣t）=PQ，

當點P在對稱軸的右側時，S△PCE=S△PCQ+S△PEQ=PQ（0﹣t）+PQ[t﹣（﹣1）]= PQ，

∵PQ=（﹣t﹣）﹣（t2+t﹣）=﹣t2﹣t，

∴S△PCE=PQ=﹣t2﹣t=﹣（t+）2+ ．

當t=﹣時，△PEC的面積最大，最大值是，此時，點P的坐標為（﹣，﹣）；

（3）經過點P且平行于AC的直線MN的解析式為y=﹣x﹣，

當x=0時，y=－，即N（0，﹣），當y=0時，x=﹣，即M（﹣，0），

設點D′的坐標為（﹣1，d），則MN2=（﹣）2+（﹣）2=，MD′2=[﹣﹣（﹣1）]2+d2=+d2，ND′2=（﹣1）2+（﹣﹣d）2=d2+d+．

當∠MD′N=90°時，MD′2+ND′2=MN2，即+d2+d2+d+=，

整理，得4d2+7d﹣17=0，解得d1=，d2=，

當∠NMD′=90°時，MD′2=ND′2+MN2，即+d2=d2+d++，

化簡，得d=﹣，解得d=﹣，

當∠NMD′﹣90°時，ND′2=MD′2+MN2， 即d2+d+=+d2+，

化簡，得d=，解得d=，

∴存在點 D'，使得點 D'，M，N 三點構成的三角形為直角三角形，D′點的坐標為（﹣1， ）（﹣1， ），（﹣1， ）（﹣1）．