Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=6，點E從點D出發，沿DA方向以每秒1個單位的速度向點A運動，點F從點B出發，沿射線AB以每秒3個單位的速度運動，當點E運動到點A時，E、F兩點停止運動.連接BD，過點E作EH⊥BD，垂足為H，連接EF，交BD于點G，交BC于點M，連接CF. 給出下列結論：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③ ；④GH的值為定值；上述結論中正確的個數為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】試題分析：作CN⊥BD，連接AC．

∵四邊形ABCD是矩形，AD∥BC，AB＝DC，

∴∠CDA＝∠DCB＝∠DAB＝∠ABC＝90°，

設E點和F點的運動時間為t，則CE＝t，BF＝3t，

∴， ，

∴，

在△CDE和△CBF中，

，

∴△CDE∽△CBF，故①正確，

∴∠DCE＝∠BCF，

∵∠DCE＋∠BCE＝90°，

∴∠BCE＋∠BCF＝90°，

∴∠ECF＝90°，

∵，

∴，

∵∠DCB＝∠ECF，

∴△DCB∽△ECF，

∴∠DBC＝∠EFC，故②正確；

∴∠CDB＝∠CEF，

∵∠CDB＋∠DCN＝90°，∠DCN＋∠NCB＝90°，

∴∠DCB＝∠NCB＝∠CEF，

∵CN⊥BD，EH⊥DB，

∴CN∥EH，

∴∠NCE＝∠CEH，

∴∠ECB＝∠HEG，

∵AD∥BC，

∴∠DEC＝∠ECB，

∴∠DEC＝∠HEG，

∵∠EDC＝∠EHG＝90°，

∴△EDC∽△EHG，

∴，

∵AB＝DC，

∴，故③錯誤；

∵AD＝BC＝6，AB＝2，

∴BD＝＝，

∵∠EDH＝∠ADB，∠EHD＝∠DAB，

∴△DEH∽△DBA，

∴，

∴，

∴EH＝，

∵，

∴，

∴HG＝，故④正確．

綜上所述①②④正確．

故選C．