Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．

（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；
（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．
①AE=EF是否總成立？請給出證明；
②在如圖2的直角坐標系中，當點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線y=﹣x2+x+1上，求此時點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，取AB的中點G，連接EG．

△AGE與△ECF全等．

（2）解：①若點E在線段BC上滑動時AE=EF總成立．

證明：如圖2，在AB上截取AM=EC．

∵AB=BC，

∴BM=BE，

∴△MBE是等腰直角三角形，

∴∠AME=180°﹣45°=135°，

又∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°，

∴∠AME=∠ECF．

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AME≌△ECF．

∴AE=EF．

②過點F作FH⊥x軸于H，

由①知，FH=BE=CH，

設BH=a，則FH=a﹣1，

∴點F的坐標為F（a，a﹣1）

∵點F恰好落在拋物線y=﹣x2+x+1上，

∴a﹣1=﹣a2+a+1，

∴a2=2，a=± （負值不合題意，舍去），

∴ ．

∴點F的坐標為

【解析】（1）取AB的中點G，連接EG，再由已知條件利用ASA能得到△AGE與△ECF全等；
（2）①在AB上截取AM=EC，證得△AME≌△ECF即可證得AE=EF；②過點F作FH⊥x軸于H，根據FH=BE=CH設BH=a，則FH=a-1，然后表示出點F的坐標，根據點F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上得到有關a的方程求得a值即可求得所求結論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�