Question

已知二次函數y=x²-x+c．
（1）若點A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函數y=x²-x+c的圖象上，求此二次函數的最小值；
（2）若D（2，y₁）、E（x₂，2）兩點關于坐標原點成中心對稱，試判斷直線DE與拋物線y=x²-x+c+

3

8

的交點個數，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）代入函數式A，B兩點坐標，求得c而根據函數的頂點式求得最小值；（2）先求得直線DE，把直線方程式代入到拋物線解析式，通過函數的判別式而求得．

解答：解：（1）由題意得

n=2+c 2n-1=2+c.

（1分）
解得

n=1 c=-1.

（2分）
有y=x²-x-1
y=（x-

1

2

）²-

5

4

．
∴二次函數y=x²-x-1的最小值是-

5

4

．（3分）

（2）解：∵點D、E關于原點成中心對稱
∴D（2，-2）、E（-2，2），
設直線DE為y=kx+b則有

-2=2k+b 2=-2k+b

，
解得

k=-1 b=0

，
∴直線DE為y=-x．
則

y=-x y=x2-x+c+ 3 8 .

，（4分）
得x²+c+

3

8

=0．
即x²=-c-

3

8

．
①當-c-

3

8

=0時，
∴c=-

3

8

時，方程x²=-c-

3

8

有相同的實數根，
即當c=-

3

8

時直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

有唯一交點（5分）
2當-c-

3

8

＞0時，
∴c＜-

3

8

時，方程x²=-c-

3

8

有兩個不同實數根，
即當c＜-

3

8

時直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

有兩個不同的交點（6分）
3當-c-

3

8

＜0時，
∴c＞-

3

8

時，方程x²=-c-

3

8

沒有實數根，
即當c＞-

3

8

時直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

沒有交點（7分）

點評：本題考查了二次函數的綜合運用，考查了拋物線上兩點來確定拋物線中c，代入兩點而求得；也考查了直線與拋物線的結合，考查了之間是否有解，則通過二次函數的判別式來求．