Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜邊AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），以點P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個交點為D，射線PD交射線BC于點E．
（1）如圖1，若點E在線段BC的延長線上，設AP=x，CE=y，

①求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
②當以BE為直徑的圓和⊙P外切時，求AP的長；
（2）設線段BE的中點為Q，射線PQ與⊙P相交于點I，若CI=AP，求AP的長．

Answer 1

(1)①（）,②AP=;(2)AP的長為或．

試題分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由對頂角相等得∠PDA=∠CDE，則∠PAD=∠CDE，根據三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，則∠ABC=∠DEC，BC:CE＝DE:AB，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根據勾股定理計算出AB=5，則PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y關于x的函數關系式；
②設BE的中點為Q，連結PQ，由于PB=PE，根據等腰三角形的性質得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，則△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-x+4（圓心距），BQ=-x+3（⊙Q的半徑），根據兩圓外切的性質得到-x+4=x+(-x+3），然后解方程即可；
（2）分類討論：當點E在線段BC延長線上時，利用（1）②的結論可得IQ=PQ-PI=-x+4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，根據勾股定理得CI²=CQ²+IQ²=（x）²+（-x+4）²=x²-x+16，再由CI=AP得到x²-x+16=x²，解得x₁=，x₂=4，由于0＜x＜，由此得到AP的長為;同理當點E在線段BC上時，IQ=PI-PQ=x-4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=x²-x+16，利用CI=AP得到x²-
x+16=x²，解得x₁=，x₂=4，由于＜x＜5，則AP的長為4，由此得到AP的長為或4．
試題解析：
解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．
∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．
又AP=x，∴PB=PE=5-x，DE=5-2x，
∴
∴（）．
②設BE的中點為Q，聯結PQ．
∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ABC=90°，∴PQ∥AC，
∴，∴，
∴，．
當以BE為直徑的圓和⊙P外切時， ．
解得，即AP的長為．
（2）如果點E在線段BC延長線上時，
由（1）②的結論可知，
．
在Rt△CQI中，
．
∵CI=AP，∴，
解得，（不合題意，舍去）．
∴AP的長為．
同理，如果點E在線段BC上時，
，
．
在Rt△CQI中，．
∵CI=AP，
∴，解得（不合題意，舍去），．
∴AP的長為4．
綜上所述，AP的長為或．