Question

如圖,AB為⊙O的直徑,D為⊙O上一點,DE是⊙O的切線,DE⊥AC交AC的延長線于點E,FB是⊙O的切線交AD的延長線于點F.

（1）求證:AD平分∠BAC;
（2）若DE＝3,⊙O的半徑為5,求BF的長.

Answer 1

(1)證明見解析;（2）BF=．

試題分析:（1）連接BC、OD,由D是弧BC的中點,可知:OD⊥BC;由OB為⊙O的直徑,可得:BC⊥AC,根據DE⊥AC,可證OD⊥DE,從而可證DE是⊙O的切線;
（2）在Rt△ABC中,運用勾股定理可將愛那個AC的長求出,運用切割線定理可將AE的長求出,根據△AED∽△ABF,可將BF的長求出．
試題解析:（1）連接OD,BC,OD與BC相交于點G,

∵D是弧BC的中點,
∴OD垂直平分BC,
∵AB為⊙O的直徑,
∴AC⊥BC,
∴OD∥AE．
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∵OD為⊙O的半徑,
∴DE是⊙O的切線．
（2）由（1）知:OD⊥BC,AC⊥BC,DE⊥AC,
∴四邊形DECG為矩形,
∴CG=DE=3,
∴BC=6．
∵⊙O的半徑為5,
∴AB=10,
∴AC==8,
由（1）知:DE為⊙O的切線,
∴DE²=EC•EA,即3²=（EA﹣8）EA,
解得:AE=9．
∵D為弧BC的中點,
∴∠EAD=∠FAB,
∵BF切⊙O于B,
∴∠FBA=90°．
又∵DE⊥AC于E,
∴∠E=90°,
∴∠FBA=∠E,
∴△AED∽△ABF,
∴,
∴BF=．
考點:1.切線的判定,2.勾股定理,3.圓周角定理,4.相似三角形的判定與性質．