Question

正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PF⊥CD于點F．如圖1，當點P與點O重合時，顯然有DF=CF．
（1）如圖2，若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點E．
①求證：DF=EF；
②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關系，并證明你的結論；
（2）若點P在線段OC上（不與點O、C重合），PE⊥PB且PE交直線CD于點E．請完成圖3并判斷（1）中的結論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應的結論．（所寫結論均不必證明）

Answer 1

（1）如圖2，延長FP交AB于點Q，
①∵AC是正方形ABCD對角線，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
∵AB=QF，
∴BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP=EF，
∵AQ=DF，
∴DF=EF；
②如圖2，過點P作PG⊥AD．
∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均為等腰直角三角形，
∵四邊形DFPG為矩形，
∴PA=

2

PG，PC=

2

CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=

2

EF，
∴PC=

2

CF=

2

（CE+EF）=

2

CE+

2

EF=

2

CE+PA，
即PC、PA、CE滿足關系為：PC=

2

CE+PA；

（2）結論①仍成立；結論②不成立，此時②中三條線段的數量關系是PA-PC=

2

CE．
如圖3：
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四點共圓，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已證），PC邊公共邊，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA=

2

PG=

2

DF=

2

EF，PC=

2

CF，
∴PA=

2

EF=

2

（CE+CF）=

2

CE+

2

CF=

2

CE+PC
即PC、PA、CE滿足關系為：PA-PC=

2

CE．