Question

如圖，一個直角三角形的直角頂點P在正方形ABCD的對角線AC所在的直線上滑動，并使得一條直角邊始終經過B點．
（1）如圖1，當直角三角形的另一條直角邊和邊CD交于Q點，

PB

PQ

=______；
（2）如圖2，當另一條直角邊和邊CD的延長線相交于Q點時，

PB

PQ

=______；
（3）如圖3或圖4，當直角頂點P運動到AC或CA的延長線上時，請你在圖3或圖4中任選一種情形，求

PB

PQ

的值，并說明理由．

Answer 1

（1）1；

（2）1；

（3）如圖3，

PB

PQ

=1，
過點P作PN⊥AB，垂足N在AB的延長線上，PN交CQ于點M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠PMQ=∠N=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
易證△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
又∠1=∠PBN=90°-∠BPN，
∴△PMQ≌△BNP，（ASA）
∴PQ=PB，
∴

PB

PQ

=1，
如圖4，

PB

PQ

=1，
過點P作PN⊥AB，垂足N在BA的延長線上，PN的延長線交CQ于點M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠PMC=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
易證△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
又∠1=∠2=90°-∠BPN，
∴△BNP≌△PMQ（ASA），
∴PB=PQ，
∴

PB

PQ

=1．