Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為1，動點E、F分別在邊AB、對角線BD上（點E與點A、B都不重合）且AE=

2

DF
（1）設DF=x，CF²=y，求：y與x的函數關系式，并寫出定義域；
（2）求證：FC=FE；
（3）是否存在以線段AE、DF、CF的長為邊的直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）過F作FG⊥DC于G，
則∠FGD=∠FGC=90°
∵正方形ABCD中，BD是對角線，
∴∠BDG=45°，
∵∠FGD=90°，DF=x，
∴FG=DG=

2

2

x，
∵正方形ABCD的邊長為1，
∴GC=1-

2

2

x，
在Rt△FCG中，
CF²=CG²+FG²=（1-

2

2

x）²+（

2

2

x）²=x²-

2

x+1，
∴y=x²-

2

x+1（0＜x＜

2

2

）；

（2）延長GF交AB于H，
∵∠A=∠ADG=∠DGH=90°，
∴矩形AHGD，
∴AH=DG=

2

2

x，
∵AE=

2

x，
∴HE=

2

2

x，
∴GF=HE，
CG=FH，
∵∠CGF=∠FHE=90°，
∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），
∴FC=FE，

（3）∵AE=

2

DF，
∴DF＜AE，
∴若存在以AE、DF、CF的長為邊的直角三角形，則DF不可能為斜邊，
①若CF為斜邊，則x²+（

2

x）²=x²-

2

x+12x²+

2

x-1=0，
x=

- 2 + 10

4

，x=

- 2 - 10

4

（負值舍去），
②若AE為斜邊，則x²+x²-

2

x+1=（

2

x）²，解得：x=

2

2

，
∵0＜x＜

2

2

，
∴舍去
綜上所述當x=

- 2 + 10

4

時，存在以AE、DF、CF的長為邊的直角三角形．