Question

【題目】如圖，在中，，點D是AB的中點，連結CD，過點B作BG⊥CE，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結DF．給出以下五個結論：

①；②；③點F是GE的中點；④；⑤，其中正確結論的個數是（ ）

A. B. C. D. 2

Answer 1

【答案】A

【解析】

由△AFG∽△BFC，可確定結論①正確；
由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可確定結論②正確；
由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，所以點F不是GE中點，可確定結論③錯誤；
由△AFG≌△AFD可得AG=AB=BC，進而由△AFG∽△BFC確定點F為AC的三等分點，可確定結論④正確；
因為F為AC的三等分點，所以S△ABF=S△ABC，又S△BDF=S△ABF，所以S△ABC=6S△BDF，由此確定結論⑤錯誤．

依題意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，

∴＝，
又AB=BC，

∴＝,

故結論①正確；
如右圖，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠3=∠4．
在△ABG與△BCD中，

，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，

∴AG=AD；
在△AFG與△AFD中，

，
∴△AFG≌△AFD（SAS），

∴∠5=∠2，
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°，

∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB．
故結論②正確；
∵△AFG≌△AFD，

∴FG=FD，又△FDE為直角三角形，

∴FD＞FE，
∴FG＞FE，即點F不是線段GE的中點．
故結論③錯誤；
∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD=AB=BC；
∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC=2AF，
∴AF=AC=AB．
故結論④正確；
∵AF=AC，

∴S△ABF=S△ABC；又D為中點，

∴S△BDF=S△ABF，
∴S△BDF=S△ABC，即S△ABC=6S△BDF．
故結論⑤錯誤．
綜上所述，結論①②④正確，

故選：A