Question

【題目】如圖1所示，（1）已知D是等腰△ABC底邊BC上一點，DE∥AC，交AB于點E．DF∥AB，交AC于點F．請你探究DE、DF、AB之間的關系，并說明理由．（2）如圖2所示，已知D是等腰△ABC底邊BC延長線上一點，DE∥AC，交BA的延長線于點E．DF∥AB，交AC的延長線于點F．請你探究DE、DF、AB之間的關系，并說明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1)DE＋DF＝AB（2）若D在BC的延長線上，則(1)中的結論不成立，正確結論是DE－DF＝AB

【解析】

（1）首先根據兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形判定出四邊形AEDF是平行四邊形，進而得到DF=AE，然后證明BE=DE，即可得到DE＋DF＝AB；

（2）首先根據兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形判定出四邊形AFDE是平行四邊形，進而得到DF＝AE，DE＝AF，又根據△ABC是等腰三角形得∠B＝∠ACB，利用平行線性質得∠FCD＝∠FDC，即可得出DE－DF＝AB．

解：(1)DE＋DF＝AB．

理由如下：因為DE∥AC，DF∥AB，

所以由平行四邊形的定義可得四邊形AEDF是平行四邊形，

所以DF＝AE．

又因為△ABC是等腰三角形，

所以∠B＝∠C．

因為DE∥AF，

所以∠C＝∠EDB．

所以∠B＝∠EDB．

所以△BDE是等腰三角形，

所以BE＝DE，

所以DE＋DF＝BE＋AE＝AB．

(2)若D在BC的延長線上，則(1)中的結論不成立，正確結論是DE－DF＝AB．

理由如下：因為DE∥AC，DF∥AB，

所以四邊形AFDE是平行四邊形．

所以DF＝AE，DE＝AF．

因為△ABC是等腰三角形，

所以∠B＝∠ACB．

又因為∠ACB＝∠FCD，

所以∠B＝∠FCD．

又因為AB∥DF，

所以∠B＝∠FDC．

所以∠FCD＝∠FDC，

所以DF＝FC，

所以DE－DF＝AF－CF＝AC＝AB．