Question

【題目】如圖1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠ACP的平分線上一點，若∠AMN=60°，求證：AM=MN．

（2）若將（1）中“正三角形ABC”改為“正方形ABCD”，N是∠DCP的平分線上一點，若∠AMN=90°，則AM=MN是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由．

（3）若將（2）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形A1A2…An“，其它條件不變，請你猜想：當∠An﹣2MN=_____°時，結論An﹣2M=MN仍然成立．（不要求證明）

Answer 1

【答案】

【解析】（1）要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據全等三角形的對應邊成比例得出AM=MN．

（2）同（1），要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據全等三角形的對應邊成比例得出AM=MN．

詳（1）證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．

在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，

BE=AB-AE=BC-MC=BM，

∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．

∵N是∠ACP的平分線上一點，

∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．

在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN．

（2）解：結論成立；

理由：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．

∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，

BE=AB-AE=BC-MC=BM，

∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．

∵N是∠DCP的平分線上一點，

∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．

在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN．

（3）由（1）（2）可知當∠An-2MN等于n邊形的內角時，結論An-2M=MN仍然成立；

即∠An-2MN=時，結論An-2M=MN仍然成立；

故答案為[]．