Question

【題目】如圖，二次函數y＝x2+bx﹣3的圖象與x軸分別相交于A、B兩點，點B的坐標為（3，0），與y軸的交點為C，動點T在射線AB上運動，在拋物線的對稱軸l上有一定點D，其縱坐標為2，l與x軸的交點為E，經過A、T、D三點作⊙M．

（1）求二次函數的表達式；

（2）在點T的運動過程中，

①∠DMT的度數是否為定值？若是，請求出該定值：若不是，請說明理由；

②若MT＝AD，求點M的坐標；

（3）當動點T在射線EB上運動時，過點M作MH⊥x軸于點H，設HT＝a，當OH≤x≤OT時，求y的最大值與最小值（用含a的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在點T的運動過程中，∠DMT的度數是定值②（0，）（3）見解析

【解析】

（1）把點B的坐標代入拋物線解析式求得系數b的值即可；

（2）①如圖1，連接AD．構造Rt△AED，由銳角三角函數的定義知，tan∠DAE＝．即∠DAE＝60°，由圓周角定理推知∠DMT＝2∠DAE＝120°；

②如圖2，由已知條件MT＝AD，MT＝MD，推知MD＝AD，根據△ADT的外接圓圓心M在AD的中垂線上，得到：點M是線段AD的中點時，此時AD為⊙M的直徑時，MD＝AD．根據點A、D的坐標求得點M的坐標即可；

（3）如圖3，作MH⊥x于點H，則AH＝HT＝AT．易得H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．由限制性條件OH≤x≤OT、動點T在射線EB上運動可以得到：0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．

需要分類討論：（i）當，即，根據拋物線的增減性求得y的極值．

（ii）當，即＜a≤2時，根據拋物線的增減性求得y的極值．

（iii）當a﹣1＞1，即a＞2時，根據拋物線的增減性求得y的極值．

解：（1）把點B（3，0）代入y＝x2+bx﹣3，得32+3b﹣3＝0，

解得b＝﹣2，

則該二次函數的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）①∠DMT的度數是定值．理由如下：

如圖1，連接AD．

∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．

∴拋物線的對稱軸是直線x＝1．

又∵點D的縱坐標為2，

∴D（1，2）．

由y＝x2﹣2x﹣3得到：y＝（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

在Rt△AED中，tan∠DAE＝．

∴∠DAE＝60°．

∴∠DMT＝2∠DAE＝120°．

∴在點T的運動過程中，∠DMT的度數是定值；

②如圖2，∵MT＝AD．又MT＝MD，

∴MD＝AD．

∵△ADT的外接圓圓心M在AD的中垂線上，

∴點M是線段AD的中點時，此時AD為⊙M的直徑時，MD＝AD．

∵A（﹣1，0），D（1，2），

∴點M的坐標是（0，）．

（3）如圖3，作MH⊥x于點H，則AH＝HT＝AT．

又HT＝a，

∴H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．

∵OH≤x≤OT，又動點T在射線EB上運動，

∴0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．

∴0≤a﹣1≤2a﹣1．

∴a≥1，

∴2a﹣1≥1．

（i）當，即1時，

當x＝a﹣1時，y最大值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a；

當x＝1時，y最小值＝4．

（ii）當，即＜a≤2時，

當x＝2a﹣1時，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．

當x＝1時，y最小值＝﹣4．

（iii）當a﹣1＞1，即a＞2時，

當x＝2a﹣1時，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．

當x＝a﹣1時，y最小值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a．