Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是AP的中點(diǎn)，連結(jié)CD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AB=2，∠P=30°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連結(jié)OC，AC，由圓周角定理和切線的性質(zhì)得出∠ABP=90°，∠ACP=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DC=AP=DA，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC=∠DCA，∠OAC=∠OCA，證出∠OCD=90°，即可得出結(jié)論；

（2）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BP=2AB=4，由勾股定理求出AP，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD的長(zhǎng)即可．

（1）連結(jié)OC，AC，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，AP是切線，

∴∠BAP=90°，∠ACP=90°，

∵點(diǎn)D是AP的中點(diǎn)，

∴DC═AP=DA，

∴∠DAC=∠DCA，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，

即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵在Rt△ABP中，∠P=30°，

∴∠B=60°，

∴∠AOC=120°，

∴OA=1，BP=2AB=4，，

∴=．